Gúla: párhuzamos síkmetszet területének aránya az alaphoz
Ezt a munkát a tanárunk ellenőrizte: 16.01.2026 time_at 14:09
Feladat típusa: Analízis
Hozzáadva: 16.01.2026 time_at 13:56
Összefoglaló:
Gúla: az alappal párhuzamos síkmetszet területe A_slice = A_base·(d/H)^2; bizonyítások, példák, csonkagúla-térfogat és pedagógiai tippek. 📐
Gúla — A talapzattal párhuzamos síkmetszet területének kapcsolata az alap területével
I. Bevezetés
A gúlák vizsgálata évszázadok óta fontos szerepet játszik a geometria tanításában, különösen a magyar középiskolai tananyagban. Gúlákkal már az ókori Egyiptom piramisain keresztül is találkoztunk, s azóta is számos építészeti, műszaki, sőt, természettudományi alkalmazásban kulcsszerephez jut tett ez a test. A gúla egyik legalapvetőbb tulajdonsága, hogy bármely, az alapjával párhuzamosan metszi egy sík, akkor a keletkező metszet mindig hasonló az alaphoz. Ezt az összefüggést nem csak elméleti érdekességként vizsgáljuk – fontos szerephez jut például csonkagúlák (frustumok) térfogatának számításánál, vagy akár integrálásos közelítési módszerekben is.Jelen dolgozatom célja, hogy világosan megfogalmazzam és több úton is bizonyítsam az összefüggést, amely megmutatja: egy gúla alapjához párhuzamos síkmetszetének területe hogyan aránylik az alaplap területéhez a csúcstól mért távolságok figyelembe vételével. Törekedni fogok arra, hogy közérthető példákkal, tipikus számolási feladatokkal és jól strukturált magyarázatokkal, a magyar középiskolai geometria-tananyag szellemében mutassam be a tétel lényegét és alkalmazásait.
Esszém felépítése a következő: először pontosítom a fogalmakat és jelöléseket, ezután intuitív, majd formális bizonyításokat adok; majd példákon és gyakorló feladatokon keresztül végül általánosításokat és pedagógiai tanácsokat is ajánlok.
---
II. Fogalmak és jelölések
Induljunk az alaptól! A gúla olyan test, amelynek van egy tetszőleges sokszög alakú alapja, valamint egy, az alap síkján kívül fekvő csúcsa. Az oldalfalak mindegyike háromszög, melyek közös csúcsban találkoznak. Az alap (jelöljük A_base-sel) általános sokszög lehet (háromszög, négyszög, ötszög stb.), a csúcsot nevezzük C-nek vagy S-nek. A gúla magassága (H) alatt azt a távolságot értjük, amely a csúcs merőleges vetületét az alap síkjára vetíti. Ha egy a csúcstól d távolságra, az alappal pontosan párhuzamos síkot metszünk, annak a gúla belsejében keletkező metszete ismét egy sokszög – ezt hívjuk szeletnek, metszetnek, területét jelöljük A_slice-szal.A vizsgálandó probléma: Milyen összefüggés áll fenn A_slice, A_base, d és H között?
Fontos elővigyázatosság: a „csúcstól mért távolság” mindig a csúcstól az adott síkig mért merőleges hosszúságot jelenti, nem az alap síkjától! Szemléltetéshez mindig jelöljük az ábrán a csúcsot (C), az alapot, a magasságot (H), a metszet síkját és távolságát (d).
---
III. Intuitív megértés, vizuális megfigyelések
Képzeljünk el egy négyzet alapú gúlát: ha a csúcshoz nagyon közel húzunk egy, az alappal párhuzamos síkot, a „vágási” sík gúlával alkotott keresztmetszete egy kisebb négyzet lesz, amely „helyes kicsinyítettje” (hasonlója) az eredeti alapnak. Ez nem véletlen: mivel a metsző sík párhuzamos az alappal, minden oldalának hossza és a gúla csúcsához-haladó élekkel bezárt szögek megegyeznek az alapon mértekkel.Így a keletkezett kisebb sokszög minden lineáris mértéke arányos lesz az eredetivel. Mivel azonban a terület mindig hosszúság* hosszúság (például négyzetlapnál oldal*oldal), ezért a területeik aránya a hosszúsági skála négyzetével arányos. Más szóval: ha a metszet minden oldala csak fele akkora, mint az alapé, a területe negyede annak.
---
IV. Részletes bizonyítások
A. Geometriai hasonlósággal
Vegyük fel az alap egy csúcsát, legyen ez A, hozzá tartozó élvégpontokat B, D; ezek felett futó élek csúcspontja a gúla csúcsa, C. Húzzunk az alap síkjával párhuzamos síkot a csúcstól d távolságra; ekkor az élen „magasabban” – tehát közelebb a csúcshoz – találhatóak az új megfelelő metszéspontok (A', B', D').Mivel a sík párhuzamos az alappal, minden élszög megtartott; a csúcshoz tartozó „fókuszból” nézve a két sokszög középpontos hasonlóságú. Lineárisan nézve tehát minden megfeleltetett szakasz aránya:
\[ \frac{\text{A'B'}}{\text{AB}} = \frac{d}{H} \]
Tehát a használati arány: \[ r = \frac{d}{H} \]
A síkmetszet területe éppen a négyzetével arányos, mivel minden oldalszám ennyivel csökken:
\[ \frac{A_{slice}}{A_{base}} = r^2 = \left(\frac{d}{H}\right)^2 \] Ezért:
\[ A_{slice} = A_{base} \left( \frac{d}{H} \right)^2 \]
B. Koordinátageometriai (analitikus) bizonyítás
Vegyünk fel egy háromdimenziós koordinátarendszert úgy, hogy a gúla csúcsa az origóban van: O(0,0,0). Legyen az alap síkja z = H. A sokszög egyik pontját írhatjuk (x₁, y₁, H) koordinátákkal.A csúcstól d magasságban az alappal párhuzamos síkon ugyanezen sokszög megfelelő pontja:
\[ (x'_1, y'_1, d) \]
Az egyenes, mely a csúcstól az alap pontig fut, egy szakasz, melyen metszet arányosság alapján:
\[ x'_i = \frac{d}{H}x_i, \quad y'_i = \frac{d}{H}y_i \]
A síknak ezzel az arányosságával minden koordináta r-szeresére zsugorodik, ahol r = d/H. Egy tetszőleges sokszög területe, amelynek csúcspontjai r-rel zsugorodnak, éppen r^2-szeresére csökken – ezt könnyen igazolja a determináns-determináns formula vagy a Heron-képlet skálázási tulajdonsága is.
Ezért:
\[ A_{slice} = A_{base} \cdot \left(\frac{d}{H}\right)^2 \]
C. Homotéziával (dilációval)
A homotézia fogalma a magyar tantervben is kiemelt helyen szerepel: ez egy „nagyítás/kicsinyítés” művelet, melynek van egy középpontja (C) és aránya (r = d/H). Ha a gúla csúcsa a homotézia középpontja, akkor minden alapponthoz a csúcson keresztül húzott egyenest folytatva egy, a középponttól pontosan d-szeres arányban található pontot kapunk a metszeten. A terület ismét r^2-szeres arányban változik.D. Köralapú gúla: a kúp
Tekintsünk egy kúp alakú gúlát, melynek alapja kör. A körszelet sugara a csúcstól d távolságban:\[ r_{slice} = r_{base} \cdot \frac{d}{H} \]
A területe:
\[ A_{slice} = \pi [r_{slice}]^2 = \pi [r_{base}]^2 \cdot \left( \frac{d}{H} \right)^2 = A_{base} \cdot \left( \frac{d}{H} \right)^2 \]
Ez is teljesen összhangban van a tétellel.
---
V. Példák és konkrét feladatok
1. Négyszög alapú gúla
Alap négyzet, oldala: \( s = 8 \) cm → \( A_{base} = 64 \) cm² Magasság: \( H = 12 \) cm Metszet a csúcstól: \( d = 6 \) cmArány: \( r = d/H = 6/12 = 1/2 \)
A metszet egy 4 cm oldalú négyzet (8 cm * 1/2):
\( A_{slice} = 16 \) cm²
Arányként: \( 16/64 = 1/4 \)
---
2. Fordított feladat
Legyen \( A_{slice} = 20 \) cm², \( A_{base} = 80 \) cm².Számítsuk ki \( d/H \):
\( d/H = \sqrt{A_{slice}/A_{base}} = \sqrt{20/80} = \sqrt{1/4} = 1/2 \)
---
3. Csonkagúla (frustum) térfogat
Alap \( A_1 = 36 \) cm², felső metszet \( A_2 = 9 \) cm², frustum magassága \( h = 7 \) cm.A frustum térfogata:
\[ V_{frustum} = \frac{h}{3} (A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2) \]
Behelyettesítve:
\[ V_{frustum} = \frac{7}{3} (36 + 18 + 9) = \frac{7}{3} \cdot 63 = 7 \cdot 21 = 147 \text{ cm}^3 \]
---
VI. Általánosítások és kapcsolatok
A megismert képlet minden nem-degenerált gúla (akár bonyolultabb alapú) esetén érvényes. A kúp (kör alap) zökkenőmentesen illeszkedik ide, mivel ott a sugár arányával rögtön belátható a terület aránya is. A térfogat arányában, mivel a köbös skálázás érvényesül, a csúcstól mért arány harmadik hatványon veszi fel szerepét:\[ V_{slice} = V_{base} \cdot \left( \frac{d}{H} \right)^3 \]
Ez a gondolatmenet vezet el a csonkagúla-térfogatokhoz is és összeköti a síkmetszetek, frustumok számítását.
Sőt, ha két párhuzamos síkmetszetet veszünk, távolságaik a csúcstól d1 és d2, akkor a hozzájuk tartozó metszet-területek aránya \((d_1/d_2)^2\).
Gyakorlati alkalmazás például makett-tervezés során, amikor arányosan szeretnénk különböző szintek területeit meghatározni, vagy akár anyagszükségletet becsülni mérnöki konstrukciókban.
---
VII. Pedagógiai tanácsok és tipikus hibák
- Legyen minden feladatnál ábra, jól feliratozva: gúla csúcsa, magassága, metszet, alap. - Pontosan határozzuk meg mindig, hogy a távolságot a csúcstól, nem az alaptól mérjük! - A területarányt mindig négyzetre emeljük: linearitás négyzete adja a felületek arányát. - Ügyeljünk a mértékegységekre: területnél négyzetcentiméter, hossz csak centiméter. - Indokoljuk meg minden lépésünket: miért hasonlóak a sokszögek (párhuzamosság miatt), miért r = d/H (mert ugyanabban az arányban haladunk a csúcstól), miért kell négyzetre emelni (mert terület = hossz* hossz). - Készítsünk alternatív bizonyítási vázlatot: ha idő engedi, érdemes több úton ellenőrizni a gondolatmenetet, ez a magyar érettségin is értékes lehet. - Ellenőrizzük a végeredményt: számérték, dimenziók helyessége.---
VIII. Gyakorló feladatok vázlattal
1. feladat: \( A_{base} = 100 \) cm², \( d = 3 \) m, \( H = 6 \) m. \( r = 3/6 = 1/2 \), \( A_{slice} = 100 \cdot (1/2)^2 = 25 \) cm².2. feladat: \( A_{slice} = 9 \) cm², \( A_{base} = 81 \) cm². \( r = \sqrt{9/81} = 1/3 \), tehát \( d = H/3 \).
3. feladat: Csonkagúla térfogata: \( A_1 = 64 \) cm², \( A_2 = 16 \) cm², \( h = 5 \) cm. \( V = \frac{5}{3}(64 + 32 + 16) = \frac{5}{3} \times 112 = 5 \times 37.33 = 186.67 \) cm³.
Minden feladatnál kellő részletességgel rajzoljunk mellé ábrát; a megoldás lépéseit írjuk le.
---
IX. Záró gondolatok
Összefoglalva: egy gúla alapjához párhuzamosan húzott metszet területe arányos az alap területének a csúcstól mért távolság és a magasság hányadosának négyzetével: \[ A_{slice} = A_{base} \left( \frac{d}{H} \right)^2 \] Ez az egyszerű, mégis rendkívül elegáns összefüggés nemcsak elméleti jelentőségű, hanem számtalan gyakorlati alkalmazás alapja. Segítségével könnyen mérhető, arányosítható, vagy akár általánosítható a területi, térfogati viszonyok ismerete.Ajánlom minden diáktársamnak az ismertetett bizonyítási módszereket önállóan is átgondolni, ábrákat készíteni, példákat részletesen kidolgozni, ezzel is elmélyítve a geometriai gondolkodásukat. A fejezethez szükséges háttértudás a legtöbb magyar középiskolai tankönyvben megtalálható; gyakorláshoz különösen ajánlom a GeoGebrát, melyben látványosan modellezhetők ezek a szituációk.
---
X. Melléklet — Gyors összefoglaló és ábraötletek
Fő képletek:
- \( A_{slice} = A_{base} \times (d/H)^2 \) - \( d = H \times \sqrt{A_{slice}/A_{base}} \) - Csonkagúla térfogata: \( V_{frustum} = \frac{h}{3}(A_1 + \sqrt{A_1 A_2} + A_2) \)Ajánlott irodalom:
- Pósfai Gyula: Geometria 10. - Kovács Attila: Térgeometria példatár - GeoGebra online alkalmazásaÁbra-javaslat:
- Oldalnézeti kép: csúcs, alap, magasság, metszet, távolságok és jelölések egyértelműen feltüntetve.---
Ezzel a témával nemcsak matematikai összefüggéseket, hanem általános problémamegoldási rendszert is kap az olvasó, mellyel önállóan is könnyebben dolgozhat új feladatokon, legyen szó akár érettségiről, akár a mindennapi életben előforduló modellezési problémákról.
Értékelje:
Jelentkezzen be, hogy értékelhesse a munkát.
Bejelentkezés